Trigonometrinin kullanım alanları

Matematikçi ve bilim insanı olmayan halk arasında, trigonometri esas olarak ölçüm problemlerine uygulanmasıyla bilinir, ancak müzik teorisindeki yeri gibi çok daha incelikli şekillerde de sıklıkla kullanılır; sayı teorisinde olduğu gibi diğer kullanımlar daha tekniktir. Fourier serileri ve Fourier dönüşümleri matematiksel konuları büyük ölçüde trigonometrik fonksiyonlar bilgisine dayanır ve istatistik de dahil olmak üzere bir dizi alanda uygulama alanı bulur.

Thomas Paine'in açıklaması

Amerikalı devrimci ve Aydınlanma düşünürü Thomas Paine, The Age of Reason adlı eserinin XI. bölümünde şöyle yazmıştır:

“	İnsanın bir tutulmayı ya da gök cisimlerinin hareketiyle ilgili herhangi bir şeyi önceden bilmek için kullandığı bilimsel ilkeler, esas olarak bilimin trigonometri ya da üçgenin özellikleri olarak adlandırılan ve gök cisimlerinin incelenmesine uygulandığında astronomi olarak adlandırılan bölümünde yer alır; Okyanusta bir geminin rotasını yönlendirmek için uygulandığında navigasyon olarak adlandırılır; cetvel ve pergelle çizilen şekillerin yapımına uygulandığında geometri olarak adlandırılır; yapıların planlarının yapımına uygulandığında mimari olarak adlandırılır; dünya yüzeyinin herhangi bir kısmının ölçümüne uygulandığında arazi ölçümü olarak adlandırılır. Kısacası, bilimin ruhudur. Ebedi bir gerçektir: insanın bahsettiği matematiksel kanıtlamayı içerir ve kullanım alanlarının kapsamı bilinmemektedir.	„

Uluslararası Uzay İstasyonundaki Canadarm2 robotik manipülatör, eklemlerinin açıları kontrol edilerek çalıştırılır. Kolun ucundaki astronotun nihai konumunun hesaplanması, bu açıların trigonometrik fonksiyonlarının tekrar tekrar kullanılmasını gerektirir.

Tarihçe

Büyük Trigonometrik Araştırma

Ana madde: Büyük Trigonometrik Araştırma

1802'den 1871'e kadar süren Büyük Trigonometrik Araştırma, Hint alt kıtasını yüksek hassasiyetle araştırmaya yönelik bir projeydi. Kıyı şeridinden başlayarak, matematikçiler ve coğrafyacılar ülke genelinde geniş mesafeleri üçgenlemişlerdir. En önemli başarılardan biri Himalaya dağlarının yüksekliğini ölçmek ve Everest Dağı'nın Dünya üzerindeki en yüksek nokta olduğunu belirlemekti.

Çarpma işlemi için tarihsel kullanım

1614'te logaritmanın icadından önceki 25 yıl boyunca, prosthaphaeresis çarpımlara hızlı bir şekilde yaklaşmanın bilinen tek genel uygulanabilir yoluydu. Açıların toplamlarının ve farklarının trigonometrik fonksiyonları için bu açıların trigonometrik fonksiyonlarının çarpımları cinsinden özdeşlikleri kullanıyordu.

Bazı modern kullanımlar

Trigonometriden yararlanan bilimsel alanlar şunlardır:

akustik, mimari, astronomi, haritacılık, inşaat mühendisliği, jeofizik, kristalografi, elektrik mühendisliği, elektronik, arazi ölçme ve jeodezi, birçok fizik bilimi, makine mühendisliği, işleme, tıbbi görüntüleme, sayı teorisi, oşinografi, optik, farmakoloji, olasılık teorisi, sismoloji, istatistik ve görsel algı

Bu alanların trigonometri içermesi, onlar hakkında herhangi bir şey öğrenmek için trigonometri bilgisine ihtiyaç duyulduğu anlamına gelmez. Bu, bu alanlardaki bazı şeylerin trigonometri olmadan anlaşılamayacağı anlamına gelir. Örneğin, bir müzik profesörü belki matematik hakkında hiçbir şey bilmiyor olabilir, ancak muhtemelen Pisagor'un matematiksel müzik teorisine bilinen en eski katkıda bulunan kişi olduğunu biliyordur.

Yukarıda listelenen uğraş alanlarının bazılarında trigonometrinin nasıl kullanılabileceğini hayal etmek kolaydır. Örneğin, navigasyon ve arazi ölçümünde, trigonometrinin kullanımına ilişkin durumlar en azından bazı durumlarda başlangıç düzeyindeki bir trigonometri ders kitabında anlatılabilecek kadar basittir. Müzik teorisi söz konusu olduğunda, trigonometrinin uygulanması, farklı uzunluklardaki iki telin koparılmasıyla çıkan seslerin, her iki uzunluğun da ortak bir uzunluğun küçük tam sayı katları olması durumunda ünsüz olduğunu gözlemleyen Pisagor tarafından başlatılan çalışmayla ilgilidir. Titreşen bir ipin şekli ile sinüs fonksiyonunun grafiği arasındaki benzerlik sadece bir tesadüf değildir. Oşinografide, bazı dalgaların şekilleri ile sinüs fonksiyonunun grafiği arasındaki benzerlik de tesadüfi değildir. Aralarında klimatoloji, biyoloji ve ekonominin de bulunduğu diğer bazı alanlarda mevsimsel periyodiklikler vardır. Bunların incelenmesi genellikle sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodik doğasını içerir.

Fourier serisi

Birçok alan trigonometriyi tek bir makalede tartışılabilecek olandan daha ileri şekillerde kullanır. Bunlar genellikle 18. ve 19. yüzyıl Fransız matematikçisi ve fizikçisi Jean Baptiste Joseph Fourier'e atfen Fourier serileri olarak adlandırılan serileri içerir. Fourier serileri birçok bilimsel alanda, özellikle de yukarıda bahsedilen mevsimsel periyodiklikleri içeren tüm fenomenlerde ve dalga hareketinde ve dolayısıyla radyasyon, akustik, sismoloji, elektronikte radyo dalgalarının modülasyonu ve elektrik enerjisi mühendisliği çalışmalarında şaşırtıcı derecede çeşitli uygulamalara sahiptir.

Bir Fourier serisi, aşağıdaki formda bir toplamdır:

$\square +\underbrace {\square \cos \theta +\square \sin \theta } _{1}+\underbrace {\square \cos(2\theta )+\square \sin(2\theta )} _{2}+\underbrace {\square \cos(3\theta )+\square \sin(3\theta )} _{3}+\cdots \,$

burada karelerin her biri ($\square$) farklı bir sayıdır ve sonsuz sayıda terim eklenir. Fourier bunları ısı akışı ve difüzyon (difüzyon, bir galon suya bir küp şeker attığınızda şekerin yavaş yavaş suya yayılması, bir kirleticinin havaya yayılması veya herhangi bir çözünmüş maddenin herhangi bir sıvıya yayılması sürecidir) üzerinde çalışmak için kullanmıştır.

Fourier serileri, dalga hareketi ile bağlantısı açık olmayan konulara da uygulanabilir. Her yerde bulunan bir örnek, görüntüler, ses ve video verilerinin çok daha küçük bir boyuta sıkıştırılarak telefon, internet ve yayıncılık ağları üzerinden iletilmesini mümkün kılan dijital sıkıştırma yöntemidir. Yukarıda bahsedilen bir başka örnek de difüzyondur. Diğerleri arasında: sayıların geometrisi, izoperimetrik problemler, rastgele yürüyüşlerin tekrarı, ikinci dereceden karşılıklılık, merkezi limit teoremi, Heisenberg eşitsizliği.

Fourier dönüşümleri

Fourier serilerinden daha soyut bir kavram Fourier dönüşümü fikridir. Fourier dönüşümleri toplamlardan ziyade integralleri içerir ve benzer şekilde çok çeşitli bilimsel alanlarda kullanılır. Birçok doğa kanunu, niceliklerin değişim oranları ile niceliklerin kendilerinin ilişkilendirilmesiyle ifade edilir. Örneğin: Nüfus değişim oranı bazen (1) mevcut nüfus ve (2) mevcut nüfusun taşıma kapasitesinin altına düştüğü miktar ile birlikte orantılıdır. Bu tür bir ilişki diferansiyel denklem olarak adlandırılır. Bu bilgiler ışığında, nüfus zamanın bir fonksiyonu olarak ifade edilmeye çalışılırsa, diferansiyel denklem "çözülmeye" çalışılmış olur. Fourier dönüşümleri, bazı diferansiyel denklemleri çözme yöntemleri bilinen cebirsel denklemlere dönüştürmek için kullanılabilir. Fourier dönüşümlerinin birçok kullanım alanı vardır. Spektrum, harmonik veya rezonans kelimelerinin geçtiği hemen hemen her bilimsel bağlamda Fourier dönüşümleri veya Fourier serileri yakınlardadır.

Matematiksel psikoloji de dahil olmak üzere istatistik

Zeka bölümlerinin bazen çan şeklindeki eğriye göre dağıldığı kabul edilir. Eğrinin altındaki alanın yaklaşık %40'ı 100 ila 120 aralığındadır; buna göre nüfusun yaklaşık %40'ı IQ testlerinde 100 ila 120 arasında puan almaktadır. Eğrinin altındaki alanın yaklaşık %9'u 120 ila 140 aralığındadır; buna karşılık nüfusun yaklaşık %9'u IQ testlerinde 120 ila 140 arasında puan alır, vb. Benzer şekilde, birçok fiziksel ölçümdeki ölçüm hataları da dahil olmak üzere, diğer birçok şey “çan şeklindeki eğriye” göre dağılır. “Çan şeklindeki eğri” neden bu kadar yaygındır? Bunun teorik bir nedeni vardır ve Fourier dönüşümlerini ve dolayısıyla trigonometrik fonksiyonları içerir. Bu, Fourier dönüşümlerinin istatistik'e çeşitli uygulamalarından biridir.

Trigonometrik fonksiyonlar, istatistikçiler genellikle Fourier serileri ile temsil edilen mevsimsel periyodiklikleri incelerken de uygulanır.

Sayılar teorisi

Trigonometri ve sayı teorisi arasında bağlantı olduğuna dair bir ipucu vardır. Daha genel bir ifadeyle, sayı teorisinin sayıların niceliksel özelliklerinden ziyade niteliksel özellikleriyle ilgilendiği söylenebilir.

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

En sade terimlerle ifade edilmemiş olanları atın; sadece pay ve paydası aralarında asal sayılarla ifade edilen terimleri tutun:

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

O zaman trigonometriyi kullanırsak:

$\cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\cdots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right)$

Toplamın değeri -1'dir, çünkü 42'nin “tek” sayıda asal çarpanı vardır ve hiçbiri tekrarlanmamıştır: 42 = 2 × 3 × 7. (Eğer “çift” sayıda tekrarlanmayan çarpan olsaydı, toplam 1 olurdu; eğer tekrarlanan asal çarpanlar olsaydı (örneğin, 60 = 2 × 2 × 3 × 5), toplam 0 olurdu; toplam, 42'de değerlendirilen Möbius fonksiyonudur). Bu, Fourier analizini sayı teorisine uygulama olasılığına işaret etmektedir.

Trigonometrik olmayan denklemlerin çözümü

Çeşitli denklem türleri trigonometri kullanılarak çözülebilir.

Örneğin, sabit katsayılı bir doğrusal fark denklemi veya doğrusal diferansiyel denklem, karakteristik denkleminin özdeğerleri cinsinden ifade edilen çözümlere sahiptir; özdeğerlerden bazıları kompleks ise, karmaşık terimler reel terimlerin trigonometrik fonksiyonları ile değiştirilebilir ve dinamik değişkenin salınımlar sergilediği gösterilebilir.

Benzer şekilde, üç reel çözüme sahip kübik denklemler, karmaşık sayıların küp köklerini içerdiği için yardımcı olmayan bir cebirsel çözüme sahiptir; yine reel terimlerin trigonometrik fonksiyonları açısından alternatif bir çözüm mevcuttur.