Cebir

Cebir sayılar teorisini, geometriyi ve analizi içine alan geniş bir matematik dalıdır. Temel matematik işlemlerinden, çember ve daire alanları bulmayı kapsayan geniş bir ilgi alanına sahiptir. Cebir, mühendislik ve eczacılık gibi birçok alanda kullanılmaktadır. Kuramsal cebir, ileri matematiğin bir dalı olmakla birlikte sadece uzmanlar tarafından çalışılan bir koldur.

Cebirle ilgili ilk çalışmalar Babillere kadar uzanır. Yakın Doğu'da Hârizmî ve Ömer Hayyam (1050-1123) gibi isimler tarafından geliştirilmiştir.

Temel cebir, bilinmeyen değerleri temsilen harfler kullanmasıyla aritmetikten farklıdır. $x+2=5$ denkleminde $x$ bir bilinmeyendir ve $x$'in değeri eşitliğin her iki tarafına -2 eklenmesiyle $x=3$ şeklinde bulunabilir. Kütle-enerji ilişkisinde $E=mc^{2}$: $E$ ve $m$ harfleri bilinmeyen değişkenleri ifade ederken, $c$ ise sabit sayıdır. Cebir birçok matematiksel ifadenin çözümünde yardımcı olur.

Farklı anlamları

Tarihsel açıdan cebirin birçok anlamı vardır, bunun sebebi cebirin anlamsal bolluğu ve çevresindeki anlam değiştiren etkenlerdir. Matematik gibi bir dalda bir kelimenin birden fazla anlamının olması karışıklıklara yol açabilir. Bu yanlış anlamaları engellemek için kelimenin etrafına bazı sözcükler eklenir.

• Tek bir kelime olarak tanımlandığında cebir matematiğin büyük bir kısmını kapsar.
• Yalnız başına tanımlandığı zaman lineer cebir veya temel cebir olarak tanımlanabilir.

Matematiğin bir dalı olarak Cebir

Cebirin oluşma dönemi ilk olarak bazı matematiksel sayıları harflerle simgeleyerek başladı. Örneğin bazı üstel fonksiyonlarda: $ax^{2}+bx+c=0,$ formülündeki $a,b,c$ harflerine verilebilecek değerler ile $x$ in değerleri bulunabilir ancak $a$ nın $0$ olmaması gerekir. İlerleyen dönemlerde cebir; vektörler, matrisler ve polinomlar gibi matematiğin birçok farklı dallarında kullanılmaya başlamıştır. Daha sonra bu tanımlar cebirsel birimler olarak isimlendirilmiştir. 16. yüzyıldan önce matematikçiler; cebirciler ve geometriciler olarak iki gruba ayrılmışlardı. 16. ve 17. yüzyıllar sonucunda matematiğin şu anki hâline ulaşmasında cebirin büyük katkısı olmuştur. 19. yüzyılın ortalarında matematiğe yeni konular ve yeni dallar eklenmesine rağmen cebirden her zaman faydalanılmıştır. Bugünlerde cebirin konu yelpazesinden bazı parçalar çıkarılmış olsa da (Mathematics Subject Classification 08-Genel cebir sistemleri, 12-Alan teorisi ve polinomlar, 13-Birleşik cebir, 15-Lineer cebir ve multilineer cebir; matris teorisi, 16-Bağlantılı alan ve halka cebiri, 17-Bağlantısız alan ve halka cebiri, 18-Kategori teorisi; homolojik cebir, 19-K-teorisi ve 20-Grup teorisi) gibi birçok temel konuyu içerisinde barındırmaktadır.

Etimoloji

Cebir kelimesinin kökeni Hârizmî tarafından yazılmış Arapça Ilm al-jabr wa'l-muḳābala adlı kitaptan gelmektedir. Kitabın isminin anlamı zorla yani cebirle bir hesabın yapılması bilimi olarak çevrilebilir. Kelimenin algebra (al-gebra) şeklinde İngilizceye eklenmesi ise Orta Çağ'daki İspanyol, İtalyan veya Latinler sayesinde olmuştur. 12. yüzyıldan başlayarak İtalyanların öncülüğünde Arapça yazılan eserler Batı dillerine çevrilmeye başlanmıştır, Hârizmî'nin Cebir kitabının da bu dönemde çevrilmiş olması ihtimali yüksektir. Cebir kelimesi İspanyolcada hâlen acil operasyon, ameliyat olarak kullanılmaktadır daha sonra matematiksel anlamları eklenmiştir.

Tarihi

François Viète'in 16. yüzyılın başlarından itibaren yapmış olduğu çalışmalar cebirin temellerini oluşturmuştur. 19. yüzyılın sonlarına kadar cebir genel olarak sadece denklem teorileri barındırıyordu.

Cebirin ön tarihi

Cebir sayfaları Harizmi al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala

Cebir ilk olarak Babilliler tarafından matematiksel problemleri çözmek amaçlı kullanılmıştır. Matematikte şu an lineer denklemler veya orta dereceli lineer denklemler kullanılarak çözülen problemlerin temellerini Babilliler cebiri geliştirerek bulmuşlardır. Eski dönemlerde yaşamış olan çoğu Mısırlı, Çinli ve Yunan matematikçi, problem çözümlerinde geometri kökenli çözüm yollarını tercih ediyorlardı. Yunanlar kendi yarattıkları element matematiğini kullanırlardı ve bu yöntem ile birçok karışık sorunu çözmeyi başarmışlardır ancak bu yöntemleri Orta Çağ İslamı'na kadar fark edilememiştir. Plato'nun döneminde birçok Yunan matematikçi ani ve şiddetli bir değişime girmiştir. Yunanlar bu dönemde kendi yarattıkları geometrik çözüm yollarını geliştirerek geometrinin temel kuramlarını kullandılar. O yılların belki de en iyi matematikçilerinden biri olan Diophantus (ve aynı zamanda Arithmetica kitabının yazarı), cebirsel ifadelerin matematiksel yollarla çözümleri için birçok formülü geliştiren kişi olmuştur ve ilerleyen zamanlarda sayı teorisinin ve kendi yarattığı Diophantus denklemlerinin çıkmasını sağlamıştır. Matematiğin geliştiği ilk dönemlerde Hârizmî'nin yazdığı The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing isimli kitabı matematikte bazı görüşlerin oluşmasına neden oluyordu çünkü cebirin ve matematiğin temel disiplin kurallarının geometri ve aritmetikten farklı olduğunu söylemiştir. Helenistik matematikçiler: Diophantus, Alexandria ve Hint matematikçi Brahmagupta, Mısır ve Babillilerin yaratmış olduğu matematik kurallarını devam ettirdiler ve üzerlerine bir şeyler eklemek için çabaladılar. Yazmış oldukları kitaplardan da faydalanarak ilk kez içerisinde sıfır (0) ve eksi (-) sayıların olduğu denklemleri çözmeyi başardılar. Denklemler teorisine göre incelenen cebirin en önemli iki ismi Diophantus ve al-Khwarizmi'nin çalışmaları yıllarca incelenmiştir. Genellikle cebirin babası olarak Diophantus bilinir ancak Hârizmî'nin Al-Jabr disiplin kuralları sonucunda bu unvana onun sahip olması istenmektedir. Diophantus'u destekleyen kişiler Al-Jabr'daki cebirin biraz daha elementsel olduğunu ifade etmişler ve kendi savundukları Arithmetica ve Arithmetica kitaplarının Al-Jabr'dan daha teorik olduğunu söylemişlerdir. Al-Khwarizmi'yi destekleyenler ise "çıkarma" ve "dengeleme" (toplamanın tersi ve elemanların birbirlerini sıfırlaması) Al-Jabr kitabının cebiri her şeyden ayrı tutup yeni teoriler üzerine kurulmuş olmasından dolayı sevmişlerdir. İranlı matematikçi Ömer Hayyam cebirsel geometrik çözümler ve küplü denklemler üzerinde çalışmış biridir. Bir diğer İranlı matematikçi ise Şerafeddin el-Tusî'dir. O da fonksiyonların gelişiminde etkili biri olmuştur. Hint matematikçiler Mahavira ve II. Bhaskara, İranlı matematikçi Al-Karaji ve Çinli matematikçi Zhu Shijie birçok küplü denklemin çözümünde etkili olmuşlardır.

Cebrin tarihsel değişimi

Ortak cebirsel yapılar tablosu

1545'te İtalyan matematikçi Girolamo Cardano, Ars Magna (Büyük Sanat) isimli kitabını yayınladı, 40 bölümlük harika bir sanat eseridir ve ilk defa küplü ve üslü denklemler anlatılmıştır. François Viète'nin 16. yüzyılın sonlarına doğru yapmış olduğu çalışmalar cebrin klasik disiplin temellerinin atılmasını sağlamıştır. 1637 yılında René Descartes, La Géométrie isimli kitabını yayınlamıştır ve analitik geometrinin temelleri atılmıştır. Diğer önemli gelişmelerden biri ise 16. yüzyılın ortalarına doğru köklü ve küplü denklemlerin çözülmesidir. Determinant formülü Japon matematikçi Seki Takakazu tarafından 17. yüzyılda bulunmuştur ve bunu takiben Gottfried Leibniz 10 sene sonra lineer denklemlerin çözümünü kolaylaştırma adına matrisi yaratmıştır. Soyut cebir 19. yüzyılda geliştirilmiştir, şu anda Galois teorisi olarak bilinen denklemleri çözebilmek için geliştirilmişlerdir. "Modern algebra" 19. yüzyıla kökleri dayanan önemli bir konudur örneğin, Richard Dedekind ve Leopold Kronecker, cebirsel sayı teorisi ve cebirsel geometriyi yarattığı kabul edilen ve kullanan kişilerdir.

'Cebir' kelimesini barındıran konular

Matematiğin alanları,

• Temel cebir, okullarda gösterilen cebirsel denklemler
• Soyut cebir, gruplar, halkalar ve cisim gibi cebirsel yapıların incelendiği alan
• Lineer cebir, lineer denklemlerin, vektör uzaylarının ve matrislerin kullanıldığı cebir
• Komütatif cebir, değişmeli halkaların incelendiği alan
• Bilgisayar cebri, bilgisayar yazılımlarında kullanılan cebir
• Homolojik cebir, topolojik katman çözümlerinde kullanılan cebir
• Evrensel cebir, her cebirsel özelliğin incelendiği cebir
• Cebirsel sayı teorisi, sayı ve rakamların cebirsel bir yönle araştırılması
• Cebirsel geometri, eğik şekillerin hacim ve alan hesaplamalarında
• Cebirsel kombinatorik, cebirsel metotların kombinatorik sorularına uygulandığı alan

Birçok matematiksel terim cebir olarak tanımlanır;

• Bir cisim üzerindeki cebir
  Halka ve cisim üzerine tanımlanan birçok cebrin özel ismi vardır:
  • Bağlı cebir
  • Bağımsız cebir
  • Lie cebri
  • Hopf cebri
  • C*-cebri
  • Simetrik cebir
  • Dış cebir
  • Tensör cebri
• Hesaplanabilirlik teorisi,
  • Sigma-cebri
  • Bir grup üzerindeki cebir
• Kategori teorisi
  • F-cebiri ve F-co cebri
  • T-algebra
• Mantıkta,
  • İlişkisel cebir,
  • Boole cebri,
  • Heyting cebri

İlkokul Cebri

İlkokul cebri genellikle sadece aritmetik bilgisi olan öğrencilere cebrin temel kurallarını öğretmek amaçlı gösterilen bir cebir türüdür. En temel ve basit cebir türüdür. Aritmetikte sadece sayılar ve aritmetiksel işlemler (+, −, ×, ÷) kullanılır. Cebirde ise sayılar genellikle değişken kabul edilir ve a, n, x, y ya da z gibi harflerle ifade edilir.

Cebirsel denklem birimleri:
  1 – Üs
  2 – katsayı
  3 – terim
  4 – işlem
  5 – sabit terim
  x, y – değişkenler

• Temel cebir kurallarının kullanılması ile bir bilinmeyenli basit denklemlerin çözüm şekilleri anlatılır. Sayı çeşitleri, doğal sayılar, ardışık sayılar gibi sayı türleri anlatılır ve basit fonksiyonların özellikleri tanımlanır.

Polinomlar

Ana madde: Polinom

ax² + bx + c biçimindeki fonksiyonların x değerlerinin sıfır olduğu noktalarda çözüm kümesi bulunması denklemleridir. Her denklemin derecesine bağlı olarak kök türleri ve kök sayıları değişme gösterir. Fonksiyon ve polinomlar birbirlerine bağlı birimlerdir ve matematik ile cebrin önemli ve ileriye bağlı konularının temellerini oluşturan ciddi konulardır.

3. dereceden bir polinomun grafiği

Cebrin öğretilmesi

Temel, basit cebrin genellikle on bir yaşına gelmiş olan çocuklara anlatılması tercih edilir. Amerika'da genellikle sekizinci sınıfta temel cebir öğretimi başlar. 1997'den beri Virginia Üniversitesi gibi birçok üniversite bilgisayar yardımlı ve küçük gruplar hâlinde gençlere temel cebir eğitimi vermektedir.

Soyut Cebir

Soyut cebir genellikle aritmetik ve sayı teorilerinin birleşimini ifade eden bir cebir türüdür;

Setler: Sayı türlerini incelemekten ziyade soyut cebir, matematiğin tüm birimlerini bir çatı altında inceler ve tüm bu setler matrisler ve üslü denklemler içerebilir; bunlara ikinci veya üçüncü dereceden polinomların incelenmesi de dâhildir.

Denklemler arası işlemler: + ve - işlemlerinin yanı sıra * ve / işlemleri cebirin temel işlemlerindendir ve her denklem, fonksiyon veya polinomun çözülebilmesi için gerekli tanım aralıkları ve çözüm kümelerinin bulunduğu alanlar sorularda önceden ayarlanmış ve bildirilmiş olmalıdır.

Etkisiz eleman: Bir denklemde sonucu yapılan işleme göre değiştirmeyen veya aynı tutan elemanlara etkisiz eleman denir. Yapılacak matematiksel işlemin türüne göre etkisiz elemanlar değişkenlik gösterir örneğin bir çarpma işleminde etkisiz eleman bir iken, bir toplama işleminde bu eleman sıfırdır.

Ters elemanlar: Ters elemanlar bir sayının bölüm hâlinde yazılması ile oluşurlar, a ∗ a⁻¹ = 1 ve a⁻¹ ∗ a = 1 gibi.

Dağılma özelliği: Matematiksel bir işlemde toplam veya çarpım hâlindeki elemanların grup hâlinde yerlerinin değiştirilmesi sonuçta bir değişikliğe neden olmaz. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) genel olarak (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ifade edilebilir.

Değişken özelliği: Toplamda veya çarpma işlemlerinde elemanların yerlerinin değiştirilmesi sonucu etkilemez ve buna cebrin değişme özelliği denir. 2 + 3 = 3 + 2 ve a ∗ b = b ∗ a

Gruplar

Gruplar genel olarak bir tanım aralığındaki kümeler ve bir çarpım işlemi olarak tanımlanır ve sonuç olarak:

• e ∗ a işlemleri S kümesindeki bir çözüm elemanına eşit çıkar
• S tanım aralığındaki her elemanın bir tersi vardır a ∗ a⁻¹ ve a⁻¹ ∗ a
• Eğer a, b ve c, S'nin elemanları ise (a ∗ b) ∗ c işlemi a ∗ (b ∗ c) işlemine eşittir. Bir grup içerisindeki işlemler birbirlerini sıfırladıkları zaman eşitlik söz konusu olur ve türlü şekillerde ifade edilebilirler (a + b) + c = a + (b + c). Rasyonel sayılarda bir (1) elemanı çarpım işlemlerinde etkisiz eleman görevi görür 1 × a = a × 1 = a ve a is 1/a çünkü a × 1/a = 1.

Örnekler
Küme:	Doğal Sayılar N		Tam sayılar Z		Rasyonel sayılar Q (aynı zamanda reel R ve karmaşık C sayılar)				3 modülüne göre tam sayılar: Z3 = {0, 1, 2}
Çarpım	+	× (sıfır dışında)	+	× (sıfır dışında)	+	−	× (sıfır dışında)	÷ (sıfır dışında)	+	× (sıfır dışında)
Kapalı	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet
Etkisiz	0	1	0	1	0	N/A	1	N/A	0	1
Tersi	N/A	N/A	−a	N/A	−a	N/A	1/a	N/A	sırasıyla 0, 2, 1	sırasıyla N/A, 1, 2
Dağılma özelliği	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Hayır	Evet	Hayır	Evet	Evet
Değişme özelliği	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Hayır	Evet	Hayır	Evet	Evet
Yapı	birlik	birlik	abelyen grup	birlik	abelyen grup	yarıgrup	abelyen grup	yarıgrup	abelyen grup	abelyen grup (Z2)

Cebirsel alanlar

Cebirsel işlemlerde gruplar arasında genellikle tek işlem bulunur, en azından basit cebir kurallarına göre böyle kabul edilir. Detayı incelendiği zaman cebirsel alan ve halka önemli bir hâle gelir.

Bir halka matematiğinin iki temel işlemi vardır; (+) ve (×), ×, + işlem sırasına göre daha öndedir. İlk işlem (+) sonucunda bir abelian grubu oluşur. İkinci işlem sonucunda (×) dağılma özelliği ile işleme etki eder, ancak bu işlemler oluşurken herhangi bir şekilde bir kesir işlemini tanımsız duruma getirme veya fonksiyon tersi alınmasına ihtiyaç duyulmadığı için cebirsel sistemde bir sorun oluşmamaktadır. Toplam işlemlerinin (+) etkisiz elemanı 0 olarak kabul edilir ve toplam işlemlerini tersi a, −a olarak yazılabilir.

Dağılma özelliğinde (a + b) × c = a × c + b × c ve c × (a + b) = c × a + c × b, eşit olduğu için cebirsel sistemde çarpımın dağılma özelliği kullanılabilir olmuştur.

Kaynakça

• Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics (Second Edition bas.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7 KB1 bakım: Fazladan yazı (link)
• Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
• John J O'Connor and Edmund F Robertson, History Topics: Algebra Index3 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. In MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6
• L. Euler: Elements of Algebra, ISBN 978-1-899618-73-6
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.