Laurent serisi

Matematikte karmaşık bir fonksiyonun Laurent serisi ("Loran serisi" diye okunur) bu fonksiyonun negatif dereceli terimler de içeren kuvvet serisi temsilidir. Karmaşık fonksiyonların Taylor serileri açılımının mümkün olmadığı durumlarda bu fonksiyonları açıklamak için de kullanılabilir. Laurent serisi ilk defa 1843'te Pierre Alphonse Laurent tarafından yayınlanmış ve bu matematikçinin adını almıştır. Karl Weierstrass 1841'de bu seriyi bulmuş olabilir ancak o zamanda ilk yayınlayan olamamıştır.

Bir Laurent serisi belli bir c noktasına ve integral yolu γ'ya göre tanımlıdır. İntegralin yolu f(z) 'nin içinde holomorf olduğu bir halkada (kırmızı ile gösterilmiştir) yer almalıdır.

Karmaşık bir f(z) fonksiyonunun bir c noktası civarındaki Laurent serisi şu şekilde verilir:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

Burada a_n 'ler sabitlerdir ve Cauchy integral formülü'nün genelleştirmesi olan çizgi integrali ile tanımlanmışlardır:

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.\,$

İntegral yolu olan γ, kendini kesemeyen, c noktasını çevreleyen, f(z)'nin holomorf olduğu bir A halkasında yer alan kapalı, doğrultulabilir ve saat yönünün tersi yönlü bir yoldur.

f(z)'nin bu halkadaki herhangi bir yerdeki açılımı geçerlidir. Sağdaki diyagramda kırmızı ile gösterilen halka ile birlikte γ etiketli örnek bir integral yolu da gösterilmiştir. Uygulamada, bu formül nadiren kullanılır çünkü integralleri bulunması zordur; yerine Laurent serisi, bilinen Taylor serisi ile birleştirilir. Aşağıda anlatıldığı gibi başka ihtimaller olmasına rağmen, a_n ve c karmaşık sayıları genelde karmaşık sayı olarak alınır.

Yakınsak Laurent serileri

Karmaşık katsayılara sahip Laurent serilerinin karmaşık analizde önemli bir yeri vardır. Özellikle, tekilliklerinin yanında fonksiyonların davranışlarını incelemek için kullanılırlar.

e^-1/x2 ve Laurent yaklaşımları (yazıyı görünüz). Laurent serisinin negatif derecesi arttıkça, doğru fonksiyona yaklaşır.

Mesela, f(0) = 0 olan f(x) = e^-1/x² fonksiyonunu ele alalım. Gerçel bir fonksiyon olarak, her yerde sonsuz kere türevlenebilir bir fonksiyondur; ancak karmaşık bir fonksiyon olarak x = 0 'da türevli değildir. Üstel fonksiyonun kuvvet serisinde x 'i -1/x² ile değiştirerek, x = 0 tekilliği dışındaki bütün x karmaşık sayıları için yakınsayan ve f(x) 'e eşit olan Laurent serisini elde ederiz. Yandaki resimde, e^-1/x2 siyah çizgi ile gösterilmiştir. Aynı fonksiyonun N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve 50 için Laurent yaklaşımları

$\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}$

de verilmiştir. N → ∞ oldukça, yaklaşım x = 0 tekillik noktası haricindeki tüm x karmaşık sayılarında daha düzgün olur.

Daha genel olarak, Laurent serileri, diskte tanımlı holomorf fonksiyonları ifade etmekte kullanılan kuvvet serileri kadar, bir halka üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonları ifade etmekte kullanılır.

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

serisinin a_n karmaşık katsayılarına ve c karmaşık merkezine sahip bir Laurent serisi olduğunu varsayalım. O zaman biricik bir iç yarıçap r ve dış yarıçap R vardır; öyle ki

• Laurent serisi A := {z : r < |z - c| < R} açık halkasında yakınsar. Laurent serisi yakınsar denirken burada hem pozitif dereceli kuvvet serisinin hem de negatif dereceli kuvvet serisinin yakınsadığı denilmektedir. Dahası, bu yakınsaklık tıkız kümeler üzerinde düzgün olacaktır. Sonuçta, yakınsak seri açık halka üzerinde holomorf bir f(z) fonksiyonu tanımlar.
• Halka dışında, Laurent serisi ıraksar. Yani, A 'nın dışındaki her noktada, pozitif dereceli ya da negatif dereceli kuvvet serisi ıraksar.
• Halkanın sınırı üzerinde, iç sınırın üzerindeki en az bir noktada ve dış sınırın üzerindeki en az bir noktada f(z) 'nin holomorf bir şekilde bu noktalara devam ettirilemeyeceğini söylemek dışında genel bir yargıya varmak söz konusu değildir.

r 'nin sıfır olması veya R 'nin sonsuz olması da muhtemeldir ancak r 'nin R 'den küçük olması pek de muhtemel değildir. Bu yarıçaplar şu şekilde hesaplanabilir.

$r=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{-n}|^{1/n}$

${1 \over R}=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|^{1/n}.$

Bu sonraki lim sup sıfır olduğunda R sonsuz olarak alınır.

Tersi bir şekilde,

A = {z : r < |z - c| < R} biçimindeki bir halkayla ve A üzerinde tanmlı, holomorf bir fonksiyon ile başlarsak, o zaman her zaman (an azından) A üzerinde yakınsayan ve f(z) 'yi temsil eden c merkezli bir biricik Laurent serisi vardır.

Örnek olarak

$f(z)={1 \over (z-1)(z-2i)}$

ile başlayalım. Bu fonksiyonun paydanın sıfır ve bu yüzden tüm ifadenin tanımsız olduğu z = 1 ve z = 2i noktalarında tekillikleri vardır. z = 0 civarındaki Taylor serisi (ki bu da bir kuvvet serisidir), 1'de tekillikten geçtiği için sadece 1 yarıçaplı bir disk içinde yakınsayacaktır

Bununla birlikte, z 'nin bulunduğu bölgeye bağlı olarak z = 0 civarında muhtemel üç çeşit Laurent serisi vardır:

• Birisi |z| < 1; olan diskte geçerlidir ve Taylor serisiyle, yani

$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{k+1}}}-1\right)z^{k}$

ile aynıdır.

(Buradaki teknik, f(z) için olan orijinal ifadeyi kısmi kesirleri kullanarak daha basit iki kesire ayırmayı ve 1/(1-z) 'nin geometrik seri olduğundan yararlanmayı içerir.)

• Diğeri ise iki tekillik arasında yakalanır ve 1 < |z| < 2 halkasında tanımlıdır.

$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{k+1}}}z^{k}\right)$.

• Üçüncüsü ise 2 < |z| < ∞ olan sonsuz halkada tanımlıdır.

$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1-(2i)^{k-1}}{z^{k}}}.$

(Yukarıdaki terimler polinom bölümünden çıkarılabilirler.)

r = 0 olan durum; yani bir f(z) holomorf fonksiyon sadece bir c noktasında tanımsız olduğu durum; özellikle önemlidir.
Böyle bir fonksiyonun Laurent açılımındaki a₋₁ katsayısına f(z) 'nin c noktasındaki kalıntısı adı verilir ve kalıntı teoreminde önemli bir role sahiptir.

Örnek olarak;

$f(z)={e^{z} \over z}+e^{1/z}$

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon z = 0 dışındaki her yerde holomorftur. c = 0 civarındaki Laurent açılımını belirlemek için üstel fonksiyon için bildiğimiz Taylor serisini kullanalım:

$f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots$

Böylece kalıntının 2 olduğunu buluruz.

Örnek

$z-i$ 'nin kuvvetleri olarak

${\frac {1}{z^{2}+1}}$

fonksiyonunun Laurent serisini bulalım.

İlk önce paydada şu çarpanlara ayırmayı yapalım:

${\frac {1}{z^{2}+1}}={\frac {1}{(z-i)(z+i)}}.$

Şimdi de şu değiştirmeyi yapalım:

${\frac {1}{z+i}}={\frac {1}{2i+(z-i)}}=-{\frac {i}{2}}{\frac {1}{1-{\frac {i}{2}}(z-i)}}.$

Sonraki kesir $i$'ye yakın $z$ 'ler için bir geometrik seri olarak açılabilir:

${\frac {1}{1-{\frac {i}{2}}(z-i)}}=1+{\frac {i}{2}}(z-i)+\left({\frac {i}{2}}(z-i)\right)^{2}+\left({\frac {i}{2}}(z-i)\right)^{3}+\cdots$

Şimdi seriyi daha önceki kesirle yani -i/2 ile çarpmalıyız. Bunu yapıp her iki tarafı da $z-i$ ile bölersek şunu elde ederiz:

${\frac {1}{z^{2}+1}}=-\left({\frac {i}{2}}\right){\frac {1}{z-i}}-\left({\frac {i}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {i}{2}}\right)^{3}(z-i)-\left({\frac {i}{2}}\right)^{4}(z-i)^{2}-\cdots$

Başka örnek olarak, yukarıdaki fonksiyonun karesinin Laurent serisini bulalım:

${\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}.$

Bu da az önce üstte bulduğumuz serinin karesini almayı gerektirir ama sonsuz bir serinin karesini almak da zordur. Ancak; kalıntıları bulmak gibi çoğu amaç için Laurent serisinin ilk birkaç terimini bulmak yeterlidir. Bu ise kabaca ilk üç terimi birbiriyle çarpmakla elde edilir ki, bir üçterimlinin karesine almakla eşdeğerdir. Sonuç ise şudur:

${\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}-{\frac {i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+\cdots$

Laurent polinomları

Ana madde: Laurent polinomu

Bir Laurent polinomu, sadece sonlu sayıdaki katsayısı sıfırdan farklı olan bir Laurent serisidir. Laurent polinomları diğer polinomlardan negatif dereceli terimler bağlamında ayrılırlar.

Esaslı kısım

Bir Laurent serisinin esaslı kısımı negatif dereceli terimlerin oluşturduğu seridir yani şudur:

$\sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}.$

Eğer f 'nin esaslı kısmı sonlu bir toplamsa, o zaman f 'nin c noktasında negatif derecelerin negatifinin en büyüğüne eşit bir mertebeden kutbu vardır veya tersi bir şekilde, eğer esaslı kısım sonsuz bir seriyse, f 'nin c 'de esaslı tekilliği vardır.

f 'nin Laurent serisinin iç yakınsaklık yarıçapı 0 ise, o zaman bu ancak ve ancak şu halde olur: f 'nin c 'de ancak ve ancak esaslı kısmı sonsuz seri ise esaslı tekilliği vardır; öteki türlü bir kutbu vardır.

Eğer iç yakınsaklık yarıçapı pozitifse, f 'nin sonsuz sayıda negatif terimi olabilir ama hala c 'de yukarıdaki örnekte olduğu gibi düzenli olabilir ki bu sefer c etrafında farklı Laurent serileri ile temsil edilir.

Sonlu sayıda negatif terimleri olan bir Laurent serisi çok da heyecan verici değildir – $z^{k}$ ile bölünmüş bir kuvvet serisidir ve benzer bir şekilde incelenebilir. Ancak; sonsuz tane negatif terime sahip bir Laurent serisinin iç yakınsaklık çemberi üzerindeki davranışı karışık olabilir.

Çarpım

Laurent serileri genel anlamda çarpılamazlar. Cebirsel olarak, çarpımın terimlerinin ifadesi yakınsamak zorunda olmayan sonsuz toplamları içerebilir (tam sayı dizilerinin girşimi alınamaz). Geometrik olarak, iki Laurent serisinin örtüşmeyen yakınsaklık halkası olabilir.

Sadece sonlu sayıda negatif terimler içeren Laurent serileri çarpılabilir: cebirsel olarak, toplamların hepsi sonludur; geometrik olarak, bunların c noktasında kutupları vardır ve iç yakınsaklık yarıçapı 0'dır böylece her ikisi de örtüşen halkalar üzerinde yakınsar.

Bu yüzden, formel Laurent serisini tanımlarken, Laurent serisinin sadece sonlu sayıda negatif teriminin var olması koşulu getirilir.

Benzer bir şekilde, yakınsak iki Laurent serisinin toplamı her zaman formel bir şekilde tanımlanmış olmasına rağmen yakınsak olmak zorunda değildir; ancak alttan sınırlı iki Laurent serisinin (veya herhangi bir delikli diskteki Laurent serisi) toplamının boş olmayan yakınsaklık halkası vardır.

Ayrıca bakınız

• Formel Laurent serileri – katsayılarını herhangi bir değişmeli halkadan olan, yakınsaklığına dikkat edilmeyen, çarpımlarının her zaman tanımlı olabilmesi için sonlu çoklukta negatif dereceli terime sahip, formel olarak düşünülmüş Laurent serileri.
• Z-dönüşümü – Zaman serisi analizinde bolca kullanımı olan 0 civarında alınmış Laurent serileri.
• Fourier serileri – $z=e^{\pi iw}$ değiştirimi, Laurent serisini bir Fourier serisine dönüştürür veya tersi işlemi de gerçekleştirir. Bu, j-değişmezinin q-serisi açılımında da kullanılır.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Laurent serisi (MathWorld)
• Laurent Serisi Modülü, John H. Mathews tarafından
• Laurent Serisi ve Mandelbrot kümesi, Robert Munafo tarafından 1 Ağustos 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.